您当前的位置:中国百科网 -> 百科词条 -> 数学百科 -> 文章内容:代数特征值问题数值解法

代数特征值问题数值解法


daishu tezhengzhi wenti shuzhi jiefa
代数特征值问题数值解法
numerical method for algebraic eigenvalue problems


   对元素为实数或复数的 ×矩阵A,求数维非零向量 使A=,这样的问题称为代数特征值问题,也称矩阵特征值问题,分别称为矩阵A的特征值和特征向量。代数特征值问题的数值解法是计算数学的主要研究课题之一,它常出现于动力系统和结构系统的振动问题中。在常微分方程和偏微分方程的数值分析中确定连续问题的近似特征系,若用有限元方法或有限差分方法求解,最终也化成代数特征值问题。此外,其他数值方法的理论分析,例如确定某些迭代法的收敛性条件和初值问题差分法的稳定性条件,以及讨论计算过程对舍入误差的稳定性问题等都与特征值问题有密切联系。求解矩阵特征值问题已有不少有效而可靠的方法。
 矩阵A的特征值是它的特征多项式P()≡det(-A)的根, 其中为单位矩阵。但阶数超过4的多项式一般不能用有限次运算求出根,因而特征值问题的计算方法本质上是迭代性质的,基本上可分为向量迭代法和变换方法两类。
 向量迭代法是不破坏原矩阵A,而利用A对某些向量作运算产生迭代向量的求解方法,多用来求矩阵的部分极端特征值和相应的特征向量,特别适用于高阶稀疏矩阵。乘幂法、反幂法都属此类,隆措什方法也常作为迭代法使用。
 变换方法是利用一系列特殊的变换矩阵(初等下三角阵、豪斯霍尔德矩阵、平面旋转矩阵等),从矩阵A出发逐次进行相似变换,使变换后的矩阵序列趋于容易求得特征值的特殊形式的矩阵(对角阵、三角阵、拟三角阵等);多用于求解全部特征值问题,其优点是收敛速度快,计算结果可靠,但由于原矩阵A被破坏,当A是稀疏矩阵时,在计算过程中很难保持它的稀疏性,因而大多数变换方法只适于求解中小规模稠密矩阵的全部特征值问题。雅可比方法、吉文斯-豪斯霍尔德方法以及LR方法、QR方法等都属此类。
   乘幂法 计算矩阵的按模最大的特征值及对应特征向量的一种向量迭代法。设 A为具有线性初等因子的矩阵,它的 个线性无关的特征向量是u(=1,2,…,),特征值排列次序满足[108-20]108-20是一个维非零向量,[108-02]108-02于是[000-7]000-7[108-03]108-03若││>││, 则当0,且足够大时,A0除相差一个纯量因子外趋于所对应的特征向量,这就是乘幂法的基本思想。实际计算中最简单情况的乘幂法的迭代格式是:取初始向量0,计算
         [108-04]108-04式中[108-21]108-21指[108-22]108-22中绝对值最大的一个分量,这时[108-005]108-005[108-05]108-05 一般情形下,由于计算格式依赖于A的特征值的分布情况,实际使用很不方便,只是在求阶数非常高的矩阵的个别特征值和相应的特征向量时偶尔使用。然而乘幂法的基本思想是重要的,由它可导出许多实用的计算方法,例如反幂法和子空间迭代法,它也是其他一些有效计算方法(例如LR方法,QR方法)的理论基础。
 子空间迭代法 又称同时迭代法,乘幂法的直接推广,能同时求出模最大的一些特征值和相应的特征向量。它与乘幂法的差别主要在二个方面:①同时用(>1)个正交规范向量进行类似于乘幂法的迭代,将迭代向量看作一个 维子空间的正交规范基,每次迭代后得到一个新的子空间;②迭代过程中,在 维子空间上应用里茨原理进行加速。这个方法更便于使用计算机自动计算,而且加快了收敛速度,是大型稀疏矩阵特征值问题的有效解法。
 反幂法 又称反迭代,其原理是:设矩阵A非奇异,为求 A的模最小的特征值和相应的特征向量而对A使用乘幂法。A的特征值次序是[108-06]108-060为初始向量,迭代格式为
  [108-07]108-07在一定条件下[108-08]108-08反幂法的每次迭代要解一个线代数方程组。这种原始的反幂法在实际计算中很少应用,实际使用的反幂法总是带原点位移的,且位移常取为已求得的近似特征值,而用反幂法求其对应的特征向量。设是 A的某特征值的近似值,带原

[1] [2] [3] [4]  下一页


上一篇:线性常微分方程      下一篇:数学教学法
作者:曹志浩  来源:互联网  
百度搜索:代数特征值问题数值解法 GOOGLE搜索:代数特征值问题数值解法 sogou搜索:代数特征值问题数值解法
雅虎搜索:代数特征值问题数值解法 SOSO搜索:代数特征值问题数值解法 163网易搜索:代数特征值问题数值解法

关于本站 - 友情连接 - 网站地图 - 琼ICP备05000915号
本站所收集信息资料为网络转载 版权属各作者 并已著明作者 旨在资源共享、交流、学习之用,请勿用于商业用途,本站并不保证所有信息、文本、图形、链接及其它内容的绝对准确性和完整性,故仅供访问者参照使用。QQ群:2846248  中国百科网欢迎您,期待与您沟通!
Mail:chinabaike@gmail.com Copyright by www.chinabaike.com;All rights reserved.