空间形式

空间形式
space forms

　　的所有非等价的不可约正交表示，;个且从中区分出那 些无不动点的表示.最后必须决定、{G，}中的群的所 有自同构，;手月‘弄清楚所找到的表示的哪一些关于对 应的群的自同构是等价的.上述程序已在【5]中被完 全地实现了，且导致球空间形式的详尽的分类.任何 有限循环群属于群族{G、};阶为N的非循环群当 (而非仅当)N与n十1互素、_且它能被一个整数的平 方可除时是”维球空间形式的基本群. Euclid空间形式的整体理论是作为几何结晶学 (见数学结晶学(e哪tallogl飞甲场，matllellutical))中 某些结果的应用而产生的.在【3]中，19世纪末已经 知道的E3中晶体群名录被用来得到三维Eueljd空间 形式的拓扑分类(在紧的情形下是仿射分类).E，中 晶体群的Bieber比ch定理导致任意维数的紧Eue显空 问形式的结构理论.特别是，对于任意的n)2，只 存在有限多个。维紧Euclid空间形式的不同的等价 类;而且两个紧Euclid空间形式M”二尸/r和MI =E”/r，是仿射等价的，当且仅当它们的基本群r 和r，是同构的.例如，任何二维紧Euclid空间形式 同胚于(因而仿射等价于)一个平环或K」ein瓶一 个抽象群r是紧Euelid空问形式M”的基本群，当 且仅当;a)r有一个有限指标的、同构于Z”的正规 Abel子群r’;b)r‘与r中的中心化子群重合;c) r没有有限阶元素.若这样的一个群r实现为尸的 运动群的离散子群，则r*和属于r的平移的集合 重合，存在平环T”=尸/r*在M”二尸/r上的正 规覆叠夕，定义为夕(r*(x))=r(x)，丫沉任En户有 限群f/r*同构于p的覆叠变换群，进而同构于M” 的和乐群(holononly grouP).紧Euclid空间形式是总 是有一个有限的和乐群.逆命题也成立:其和乐群有限 的紧RI。刀ann空间是平坦的.己经证明每个有限群同 构于一个紧Euclid空间形式的和乐群.给定维数。 的紧Euclid空间形式的仿射分类只对于n蕊4是已知 的(1983年).对于n二3，存在6个可定向的、4 个不可定向的紧Euehd空间形式的仿射等价类有素 数阶循环和乐群的紧Euclid空间形式已被分类了.非 等距的平环T”的集合能够用 SL(儿，Z)\GL韦(n，R)/50(n) 的元素参数化.这里，GL+(”，R)是GL(，:，R) 中单位元素的连通分支.n维紧Euelid空间形式的等 距分类根据它们的仿射分类和环面T”的等距分类得 到.非紧Euelid空间形式只在二维和三维情形已被分 类(差一个等距).特别是，一个不同于EZ的二维非 紧EuClid空间形式或者同胚于柱面，或者同胚于 M6b此带.任何非紧Euclid空间形式容许到它的一 个紧全测地平坦子流形上的实解析收缩;非紧EuClid 空间形式的基本群的类与紧EI犯lid空间形式的基本群 的类相重合、 二维双曲空间形式的研究在实质上始于1888 年，其时H.Poinc耐