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黎曼几何学


一二维切平面的截面曲率与基向量X,Y 的选取无关。
截面曲率完全决定了曲率张量,也就是说,如果在一点□ 知道了所有的截面曲率, 那么在这点的曲率张量就决定了。另外,截面曲率满足下面的舒尔定理:如果在连通的黎曼流形(М,□)(□≥3)的各点,截面曲率与方向X,Y□无关,那么它与点也无关,因而是常数。这种黎曼流形称为常曲率黎曼空间。常曲率为□ 的黎曼流形的曲率张量满足条件□。
由曲率张量缩并而得的张量,即分量为□的二阶协变对称张量称为里奇张量 。 设 □□,由□决定的量称为在□点X方向的里奇曲率。由□决定的数量函数□ 称为在□ 点的数量曲率。
截面曲率、里奇曲率以及数量曲率是非常重要的几何量。研究这些量与黎曼流形的几何性质以及拓扑性质之间的关系是黎曼几何的一个重要课题。例如,嘉当-阿达马定理断言:若一个□维单连通完备黎曼流形的截面曲率处处不大于零,那么它与□□微分同胚。再如迈尔斯定理断言:若完备黎曼流形的里奇曲率处处大于一个正常数□,那么它必是紧流形而且基本群有限。W.克林格贝格和M.伯热证明的球定理断言:如果完备单连通□维黎曼流形М的截面曲率□□ 满足□,那么М与□维欧氏球面□□同胚。这些结果显示了流形的拓扑性质与度量性质之间有密切的联系。在这方面还有许多未解决的问题。
测地线、完备黎曼流形 □ 维欧氏空间□□中连接两点□、□ 的直线段□是连接□、□ 的所有曲线中最短的,而□的长度就等于□、□ 的距离。 假设□ 2曲线 □=□是连接□、□□的最短线,□是□ 的弧长参数,即□。考虑□ 的任意一族变分曲线□0≤□≤□,-□≤□≤□,即对固定的□,曲线□□是连接□、□的曲线,且□□=□。显然□满足□0,也即最短线必是长度泛函的临界点,由欧拉-拉格朗日方程得到□应满足下列微分方程组:
□。 (5)
称满足方程(5)的曲线为测地线,欧氏空间中的测地线就是直线,欧氏球面中的测地线是大圆弧。最短线必是测地线,但反之则不一定成立。例如,欧氏球面上以□、□为端点的大圆优弧虽是测地线却不是连接□、□的最短线(应为劣弧)。然而,在局部范围内测地线总是最短线,也就是说,任意点□总存在一个局部邻域□,使得对□ 中任意点□,惟一存在一条完全落在□□内的测地线□连结□、□,而且□□的长度等于 □、□ 的距离。一条连接两点□、□ 的测地线,如果它的长度恰好等于□、□ 的距离,就称为极小测地线。显然它就是连接□、□ 的最短线。
从(5)不难看出测地线的另一说法是:测地线是切向量沿自身平行的曲线,即□□□=0。
方程组(5)是一个二阶常微分方程组,因此任意给定一点□□和□□点的一个单位切向量□ X, 总惟一地存在一条测地线过□□点且在 □□点与X□相切。然而它未必能够无限地延伸。而且任意两点间就也不一定能用一条极小测地线连接。例如,设□□-{□}为二维欧氏球面□□去掉一点□□而得到的曲面,于是处在过□点的同一大圆上充分接近□点而分居□ 的两侧的两点□□、□□之间就没有极小测地线。
如果一个黎曼流形(М,□□) 的任意测地线都能被开拓成在整个□□□□(-∞, +∞) 上定义的测地线,则(М,□)称为完备黎曼流形,或称度量张量 □是完备度量。例如,欧氏空间、欧氏球面等都是完备黎曼流形。任何紧黎曼流形(М,□)(即М本身是紧流形)都是完备黎曼流形。完备黎曼流形上任意两点总能用一条极小测地线连接。这就是著名的霍普夫-里诺定理所断言的事实。
指数映射 设□为黎曼流形(М,□)上任意点,V为□点切空间□□(М)中一个向量,用□□(□)表示从□ 点出发以V为初始切向量的测地线,即□□(0)=□,□□□(0)=V,若□□(1)有定义,则映射exp□∶V□ □□(1)称为□点的指数映射,可以证明:存在□□(М)中

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