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物体的振动


振动,称为棒的振动。其形式因受力方式而异,一般有纵振动、弯曲振动和扭转振动三种。棒或梁的刚性可以支撑它本身的重量,故不像弦那样必须在两端固定拉紧才能振动,只需把棒架起即可使棒产生振动。
 棒的纵振动 对各向同性密度均匀的材料制成的细棒,用锤沿棒轴方向轻击一端表面的中心,如图6[棒的纵振动]棒的纵振动所示,即可激起棒的纵振动,振动时棒中质点的运动方向与棒轴平行。棒的振动方程是
         [1078-04]1078-04,              (9)式中 是距 处棒截面的位移。根据棒两端的情况,棒可以有不同的振动形式。一般有三种,即棒两端全是自由的、两端全是固定的和一端自由一端固定三种情况。两端都是自由的棒振动频率为
                  [1078-05]1078-05,              (10)式中是棒长,[1078-06]1078-06,是细棒中纵波传播速度,=1,2,3,…。其振动方式如图7b[棒纵振动时的振动方式和振幅传播]棒纵振动时的振动方式和振幅传播所示,纵坐标表示振动时棒各部分的位移。图中也给出节点的位置。图7a[棒纵振动时的振动方式和振幅传播]棒纵振动时的振动方式和振幅传播是两端固定的棒的振动方式,从图可看出其振动频率与两端自由的棒振动频率相同,只是节点的位置不同。一端固定一端自由的棒纵振动时的频率为
                 [1078-07]1078-07。            (11)与式(10)相比,可知一端固定另一端自由的棒,作纵振动时的基频只为两端自由或两端固定时的频率的一半,而且只有奇次谐波。
 棒的弯曲振动 沿与棒垂直的方向击棒,可激起棒的弯曲振动,振动时的形状如图8[ 棒的弯曲振动] 棒的弯曲振动所示。棒做弯曲振动时的振动方程是
               [1079-01]1079-01,           (12)式中[1079-50]1079-50是棒横截面的回转半径。与棒纵振动的情形类似,其振动频率也与棒两端的边界条件有关。一般端点条件有两种情况:即棒的一端自由,另一端固定;棒两端都是自由的。根据两端的条件解式(12),可得一端自由一端固定的棒做弯曲振动时的频率为
                [1079-02]1079-02
                =6.267
                =17.55
                   ……。两端自由的棒弯曲振动时的频率为
                [1079-03]1079-03
                =2.756
                =5.404
                   ……。
 在乐器中有些是利用棒的振动原理制成的,例如木琴、风琴的簧片、调音用的音叉等。
 从以上所列频率看,棒做弯曲振动时,它的泛音都不是基频的整数倍。
 棒的扭转振动  棒除了能作纵振动和弯曲振动外,还可以作扭转振动,如图9[棒的扭转振动]棒的扭转振动所示。若截面为圆形的棒 端的面与平面吻合并固定,棒轴与[kg2]kg2轴吻合,在端加一扭矩,使面上的半径转过一个角,[kg2]kg2然后撤去扭矩, 则棒即可做扭转振动。棒的每个截面都以 轴为圆心往返转动。扭转振动的方程为
                [1079-04]1079-04,              (13)式中是无限固体中横波传播速度,是角位移。因面固定,故无角位移,即节点。这与一端固定另一端自由的棒做纵振动时的频率相似,于是有
                [1079-05]1079-05。             (14)
 薄板的振动 适当增加膜的厚度可以形成薄板,薄板振动时的恢复力主要来自板的刚性,而不像膜是来自外加的张力。生活中常见的振动薄板多为圆形,如传声器或电话耳机中的薄金属片,乐器中的锣、钹、铙等。
 均匀薄板对称振动时的振动方程是
      [1079-06]1079-06,        (15)式中是薄板与[kg1]kg1平面吻合时在方向的位移,[1079-50]1079-50是面回转半径,对于厚度为的均匀薄板,[1079-07]1079-07是板材的弹性模量,是体密度,是泊松比(物体受力拉长时,横向单位长度收缩值与纵向单位长度拉长值之比),[1079-08]1079-08是用极坐标时拉普拉斯算符。圆形薄板振动时的频率与周边支撑情况有关,假设板做简谐振动,圆板周边在处固定,形成节线,则频率的表达式是
       [1079-09]1079-09。        (16)用上式求得的基频及泛音频率为
       [1079-10]1079-10
             =3.88
             =8.70
                ……。
 壳体的振动 将板弯曲成壳体,可以制成钟、磬、铃等发声的乐器。发声的壳多用金属制成,其振动频率与壳体的形状、尺寸、弹性和密度有关,除少数形状十分简单的壳体比较容易求出其振动频率外,对形状复杂的壳体,计算它的振动频率是比较繁难的瑞利曾对长度大于直径并均匀的圆柱形壳体

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作者:杜连耀  来源:互联网  
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