自动控制理论 第二章 控制系统的数学描述 2.5 控制系统的状态空
    

2.5 控制系统的状态空间表达式

2.5 控制系统的状态空间表达式

随着科学技术的发展,被控制的对象越来越复杂,对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统,多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求,传统的控制理论已不能适用。同时,计算机技术的发展也要求控制系统地分析,设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。因此,适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。 2.5.1 状态变量
在对系统动态特性描述中,足以表征系统全部运动状态的最少一组变量,称之为状态变量。只要确定了这组变量在t=时刻的值以及时的输入函数,则系统在任何时刻的运动状态就会全部确定。状态变量互相间是独立的,但对同一个系统,状态变量的选取并不是唯一的。
一个用n 阶微分方程描述的系统,有n个独立变量,这n个独立变量就是该系统的状态变量。若用表示这n个状态变量,则可以把这n个状态变量看作是向量x(t)的分量。我们称x(t)为状态变量,它是一个n维向量,记为

分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间,称为状态空间。系统在t时刻的状态,就是状态空间的一点。系统在时刻的状态称为初始点,随着时间的变化,x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹,称为状态轨迹。状态魁及表征了系统状态的变化过程。

2.5.2 状态空间表达式
1. 状态方程
由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组,称为系统的状态方程。
对于线性系统,可以写成如下形式

(2.59)

记为

(2.60)

式中x(t)是n维列向量

u(t)是r维输入向量

A是n*n维矩阵,称为系数矩阵

B是n*r矩阵,称为输入矩阵或控制矩阵

若矩阵A和B的元素都是常数,则状态方程是线性定常的。若A和B中有随时间变化的元素,状态方程就是线性时变的。状态方程中不能含有x(t)的高于一阶导数的项和输入函数的导数项。
对于非线性系统,状态方程可以写成如下形式

(2.61)

记为

(2.62)

式中f为向量函数。
2. 输出方程
描述系统的输出变量与状态变量和输入变量关系的方程,称为输出方程。
线性系统的输出方程具有以下形式

(2.63)

记为

(2.64)

式中y(t)为m维列向量,称输出向量 C为m*n维矩阵,称为输出矩阵

D为m*r维矩阵,称为直接传输矩阵

线性定常系统的输出矩阵和直接传递矩阵的所有元素均为常量。
非线性系统的输出方程可表示为

(2.65)

式中g称为向量函数。
输出方程中不含有变量的任何导数项。
3. 状态空间表达式
系统的状态方程和输出方程总称为系统的状态空间表达式

(2.66)

(2.67)

传递函数是系统输出与输入之间关系的数学描述,它所描述的系统的动态特性并不涉及系统内部各种变量的问题,是从外部看到的系统的一种整体特性,我们称其为外部特性。应该说,传递函数对系统特性的描述是不完全的。在状态空间表达式中,状态方程反映了输入对系统内部状态的影响,即输入改变了系统的状态,而输出方程则反映了状态变量对输出变量的影响,即状态改变产生了输出改变。状态空间表达式包含了系统运动的内部信息(状态)和外部信息(输出),是对系统动态特性的完整描述。
图2.35是系统状态空间表达式的结构图。图中用双线箭头表示向量信号。

图2.35 控制系统状态空间表达式的结构图
图2.35 控制系统状态空间表达式的结构图

2.5.3 状态空间表达式的建立
建立控制系统的状态空间表达式,可以根据系统运动的内在机理直接建立状态方程和输出方程,也可以根据系统的微分方程,传递函数或结构图来建立。后者称为模式转换问题。
1. 由微分方程建立状态空间表达式
(1)不含输入函数倒数项的n阶线性系统。
设n阶线性系统的微分方程具有如下形式

(2.68)

等初始值及在时的输入函数已知时,系统在t时刻的行为就可以完全确定。所以,可以选取共n个变量为系统的状态变量

方程(2.68)可以写成

这就是n阶线性系统的状态方程,记为

(2.69)

式中

维矩阵

维矩阵

维矩阵

输出方程为

记为

式中

维矩阵

具有上面A矩阵形式的矩阵称为友矩阵。友矩阵的特点是主对角线右上方的元素为1,最后一行的元素可取任何值,其余元素为零。
(2)含有输入导数项的n阶线性系统
设n阶线性系统的微分方程具有如下形式

(2.71)

对于这种情况,若仍按不含输入导数项的微分方程的处理办法,状态方程就会出现输入函数的导数项,这是不允许的。
我们可以这样来选取状态变量

式中

状态方程可写为

(2.72)

输出方程为

(2.73)

状态空间表达式记为

(2.74)

式中系数矩阵仍为友矩阵

维矩阵

控制矩阵为

维矩阵

输出矩阵为

维矩阵

因为描述线性定常系统的高阶微分方程是单输入单输出系统,所以状态方程中输入函数只有一个,输出方程中输出变量也只有一个,与其相关的矩阵形式也较为简单。
例20 某线性定常系统的微分方程为

写出其状态空间表达式。
解 先把方程变为式(2.68)的形式

设状态变量为

则状态空间表达式为

其中

例21 控制系统的微分方程为

写出其状态空间表达式。
解 这是输入函数具有导数项的微分方程。先计算:

参照式(2.72),(2.73),可得到状态方程

输出方程为

状态空间表达式为

2.由传递函数建立状态空间表达式
已知控制系统的传递函数,可以求取其拉普拉斯的反变换,得到系统的微分方程,再根据微分方程写出系统的状态空间表达式。
例22 已知控制系统的闭环传递函数为

写出其状态空间表达式。
解 先写出

对上式进行拉普拉斯反变换,得到

再计算

状态空间表达式为

其中

根据已知的传递函数,引入一个中间变量Z(s),用下面的方法也可以建立系统的状态空间表达式。
设已知的传递函数具有下面的形式

(2.75)

引入中间变量z(s),即令

(2.76)

其中

(2.77)

(2.78)

因而有

(2.79)

(2.80)

选取中间变量z(t)及其各阶导数为状态变量:

由(2.79)式可得到状态方程,由(2.80)式可得到输出方程

其中

维矩阵

维矩阵

维矩阵

从式(2.80)可以看出,输出变量只与m+1个状态变量有关,通常情况下m例23 已知

将其转换为状态空间表达式。
解 设中间变量为Z(s),则有

由此写出状态空间表达式

引入中间变量,画出结构图,根据结构图也可以写出状态空间表达式。
例24 设系统的传递函数为

(2.83)

引入中间变量,得到

(2.84)

(2.85)

根据(2.84)式可以画出系统的结构图,如图(2.36)所示。作图的过程是:先画出数目与传递函数阶次相同的积分环节,积分环节按串联连接。从最左端积分环节开始,每个积分环节的输出取作状态变量,式(2.84)的系数作为反馈回路的系数。根据结构图可以写出状态空间表达式

图2.36 控制系统的结构图
图2.36 控制系统的结构图

(2.86)

(2.87)

结构图中,前向通路、反馈通路的系数和状态空间表达式的A,B,C三个矩阵的元素间都有确定的对应关系。读者熟练后,可直接根据传递函数画出结构图,从而写出状态空间表达式。也可以根据状态空间表达式画出结构图,进而写出系统的传递函数。
给定一个系统的传递函数,若存在一个状态空间表达式仍保持了原传递函数的输入输出关系,我们称此传递函数是可实现的。传递函数可以实现的充分必要条件:它必须是一个真有理函数,即传递函数分母的阶次n与分子阶次m必须满足。从一个传递函数出发,用不同的方法,可以建立无穷多个状态空间表达式。所以,传递函数的实现不是唯一的。

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收录时间:2016年12月08日 22:26:25 来源:马棚网 作者:匿名
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